אחת השאלות המתמטיות הפחות-חשובות אך היותר-מעניינות שמספק לנו המקרא, הוא שאלת היחס בין קוטר המעגל להיקפו. כידוע לכל בר-בי-כיתה-ו’ בערך, יחס זה נקרא פַּאי (π = Pi), השווה ל- 3.14 בערך (טוב, הנה משהו מדויק יותר…)
אלא שהמקרא מספק לנו – לכאורה – יחס אחר, שכך כתוב במל”א ז, כג:
וַיַּעַשׂ אֶת הַיָּם מוּצָק עֶשֶׂר בָּאַמָּה מִשְּׂפָתוֹ עַד שְׂפָתוֹ עָגֹל סָבִיב וְחָמֵשׁ בָּאַמָּה קוֹמָתוֹ וקוה [וְקָו] שְׁלֹשִׁים בָּאַמָּה יָסֹב אֹתוֹ סָבִיב
כלומר – בעוד שקוטר אותו “ים” שעשה שלמה היה 10 אמות, היקפו היה 30 אמה >> היחס הוא בדיוק 3, ולא 3.14~ !
ים של הסברים
כידוע, הוצעו הסברים שונים ומעניינים לבעיה הזו: הכותב לא דייק (כדרכו של המקרא לעגל מספרים), הים לא היה ממש עגול אלא אליפטי (ו- 10 אמות הן ה’קוטר’ הארוך יותר), הקוטר נמדד מקצה לקצה אך לים היתה שפה בעובי מסויים וההיקף נמדד מבפנים ועוד.
ההסבר המבריק מכולם מיוחס לגאון מווילנא (הגר”א – אך ראו עדכון למטה*), ולפיו ניתן למצוא רמז בפסוק עצמו ליחס האמיתי – אם נשים לב, המילה “קו” בפסוק הינה הקרי, אך הכתיב הינו “קוה”.
ומה היחס בין “קוה” לבין “קו” בגימטריה? לא תאמינו – כמעט בדיוק כמו היחס בין פאי לבין 3!
“קוה” בגימטריה (111) חלקי “קו” בגימטריה (106) = 1.04716
פאי האמיתי (3.14159~) חלקי פאי המקורב (3) = 1.04719
או בצורה נוסחתית יותר:
כלומר, הפסוק רומז לנו בהבדל בין הקרי לכתיב, כי יש הבדל בין ‘פאי’ הכתוב בפסוק לבין פאי ‘האמיתי’, והבדל זה עומד באותו יחס שבין הערך הגימטרי של הכתיב לעומת הקרי!
דא עקא, כי שתי בעיות מאפילות על זהרו של תירוץ מבריק זה:
א. המילה בפסוק הינה וקוה \ וְקָו – כלומר, עם ו’ החיבור. אם נחשב את הגימטריה המלאה נקבל 117 חלקי 112 = 1.04464, שזה די רחוק (יחסית) מהיחס המבוקש 1.04719.
ב. אתיאיסט נמרץ בשם סייברדין מאתר ‘חופש’ טרח וחישב, כי אם היה חשוב כל-כך לכותב הפסוק לרמוז לנו על היחס האמור, הוא היה יכול לבחור בתעלול מדויק יותר: היה עליו לקחת את המילה “מִשְּׂפָתוֹ” שערכה הגימטרי הוא 826, ולשנות את הכתיב שלה ל”משפתהם” שערכה הגימטרי 865 – והתוצאה המופלאה של 865 חלקי 826 הינה 1.0472, הקרוב הרבה יותר ל- 1.04719 המבוקש!
פאי של חז”ל
כך או כך, חכמינו ז”ל בכמה מקומות התייחסו לפסוק כמחייב וקבעו להלכה כי היחס האמור הינו 3 (כך לעניין סוכה עגולה, טלטול קורה ועוד – ראו עירובין עו., סוכה ז:-ח.) – ולמרות שבמספר נושאים מתימטיים אחרים נראה כי הם השכילו לחשב חישובים די מורכבים ודי מדוייקים, דווקא בנושא זה נראה כי הם הסתמכו על הפסוק האמור וקבעו כי היחס הוא 3 עגול וזהו זה.
אמנם יש שהוכיחו בצורה יפה כי לפחות רבי יוחנן ידע את הערך המקורב של פאי בדיוק רב יחסית (אלא ששאר האמוראים לא הבינו את דבריו), אך נראים יותר דברי הרמב”ם לפיו חכמים ודאי ידעו את ערכו המקורב של פאי, אך מכיוון ופאי הוא ממילא לא-רציונלי (“יחוס אלכסון העגולה אל המסובב אותה בל[ת]י ידוע ואי-אפשר לדבר בו לעולם באמת”), הרי ששום קירוב אליו אינו מדויק, ולכן בחרו חכמים (בעקבות הפסוק במלכים) להתייחס אליו כאל 3 וזה הכל.
זכות הדיבור ליוונים
כיוון שפאי הינה כידוע אות יוונית (π, Π – אות זו נבחרה כיוון שהיא מציינת את המילה Product שמשמעה סכום מכפלות), מן הראוי לעשות מה שלא עשו כל אלו שניסו לתת הסברים שונים לבעיה – והוא לבדוק בתרגום השבעים היווני…
וזהו התרגום (אלא שאצלם זהו פס’ י ולא כג) משמאל, עם שחזור משוער של העברית מימין:
|
וַיַּעַשׂ אֶת הַיָּם עֶשֶׂר בָּאַמָּה… יָסֹב אֹתוֹ |
καὶ ἐποίησε τὴν θάλασσαν δέκα ἐν πήχει… |
שימו לב מה עשו כאן השבעים: ראשית, במקום המילה המסופקת וקוה [וְקָו] הם תרגמו כאילו היה כתוב וּמִקְוֶה (מילה זו, אגב, שימשה אותם גם לתרגום הפס’ בבראשית א, ט: “יִקָּווּ הַמַּיִם מִתַּחַת הַשָּׁמַיִם אֶל מָקוֹם אֶחָד” – והם תרגמו: “אֶל מִקְוֶה (!) אֶחָד”) – כך עפ”י הצעה (מסופקת אמנם) של חכמי ה- BHS.
שנית, במקום 30 אמה, הם תרגמו 33 אמה! זאת למרות שלגבי האורך הם תרגמו 10 באמה, כמו שכתוב אצלנו.
ומה ניתן ללמוד מכאן לענייננו?
קודם כל, נראה בבירור שהמתרגם היהודי-יווני סבר כמו הכתיב “וקוה”, ואולי אף גרס “ומקוה” (או שזו פרשנות מורחבת שלו).
דבר שני, כנראה שהוא – כבעל חינוך יווני טוב – ידע מתימטיקה ושם לב לבעיה בחישוב:)
לכן הוא הניח שחסרה מילה קטנה בפסוק: במקום “שלשים” צ”ל “שלשים ושלש”. וכיוון שבפסוק נאמר בפירוש כי לשפה היה עובי של טפח (מכל צד כנראה), יוצא כי מבנה הים היה כמו בשרטוט להלן, ומכאן שהיקפו היה כמעט 33 אמה!
נ”ב
חוץ מהבעיה המתימטית הנ”ל, ישנה עוד בעיה מתימטית לגבי אותו ים של שלמה – בפס’ כו שם כתוב לגבי הים “וְעָבְיוֹ טֶפַח וּשְׂפָתוֹ כְּמַעֲשֵׂה שְׂפַת כּוֹס פֶּרַח שׁוֹשָׁן אַלְפַּיִם בַּת יָכִיל” (“בַּת” היא מידת נפח). אך בפסוק המקביל בדה”ב (ד, ה) נכתב: וְעָבְיוֹ טֶפַח וּשְׂפָתוֹ כְּמַעֲשֵׂה שְׂפַת כּוֹס פֶּרַח שׁוֹשַׁנָּה מַחֲזִיק בַּתִּים שְׁלֹשֶׁת אֲלָפִים יָכִיל“. ונשאלת השאלה – 2000 או 3000?
גם לכך ניתנו תשובות עוד מימי חז”ל – והגדיל לעשות תה”ש שפשוט לא תרגם את המילים האלה – אך את התשובה המעניינת מכולן מצאתי במאמר של רוי ריינולד (Roy A. Reinhold), לפיו את הפסוק בדברי הימים יש לקרוא כך:
“מַחֲזִיק בַּתִּים שֶׁל שָׁת אַלְפַּיִם יָכִיל” – המילה “שָׁת” לדבריו הינה שם עצם המציין תכולה או מקום, וכוונת הפסוק היא כי הים החזיק בתים בהתאם לתכולתו, בסך אלפיים. ועל זה נאמר: “חכמה בגויים – תאמין?…”
וממש לסיום – לעוד היבט מתימטי-מקראי מוזר ומעניין, ראו כאן: המתמטיקה של 318 חניכי אברם העברי.
* החידוש של מתתיהו מונק – לא של הגר”א!
כאמור, מקובל לייחס לגר”א מווילנא את הרעיון לפיו היחס בין “קו” ל”קוה” קרוב מאוד ליחס בין 3 לבין π. אבל בזכות שאלה של דותן בתגובות למטה, גיליתי מאמר של חיים ברנר של המפנה למאמר אחר של מתתיהו מונק בשם “דרכיה של ההלכה בפתרון בעיות הנדסיות מיוחדות” (‘הדרום’ כז, ניסן תשכ”ח, עמ’ 115-132) –
מתתיהו מונק, שעפ”י כתב העת היה מורה למתמטיקה בפרנקפורט, מעלה במאמר זה (עמ’ 116) את הרעיון המבריק של קו\קוה, וכותב זאת בשם עצמו בלבד – ואין ספק כי לא היה לו מושג שהדברים יוחסו לגר”א! מכאן שכל הייחוס הזה הוא מאוחר מאוד (אחרי תשכ”ח לפחות), ומעורר תמיהה-רבתי על גלגוליהן של מסורות בישראל…
כשירות לציבור, הנה העמודים הרלוונטיים מתוך המאמר (בזכותו של הרש”צ לוינגר, ספרן “יד הרב נסים” בירושלים שאיתר את המאמר וסרק אותו):
מתתיהו מונק – דרכיה של ההלכה בפתרון בעיות הנדסיות מיוחדות – עמ’ 115-118
אבי תודה רבה! נהנינו לקרוא התפעלנו מהמחקר ומהמובאות בקיצור מעניין מאוד. חגית ורענן
תודה רבה!
2000 או 3000 בת – הגמ’ (בשבת לה) מביאה כי תכולת יבש הינה בשליש יותר מאשר בלח בגלל האפשרות לערום (“גודש” בלשונה. והשליש מלמעלה, מה 3000 (בגמ’ זה בין 40ל 60)
אה שבת לה שכלי המחזיק 40 בלח מחזיחק עוד שליש מלמעלה ביבש, 60 וממילא תכולת הים היא 2000 בלח ו 3000 ביבש
נכון מאוד – לזה התכוונתי כשכתבתי “גם לכך ניתנו תשובות עוד מימי חז”ל” אבל זה הסבר קצת מוזר, כי הים נועד להחזיק לח (=מים), ולא יבש.
מהיכן לקוח הביאור של הגר”א?
שאלה מצויינת – ראיתי את ההסבר הזה בכמה מקומות וכולם (1) כותבים “שמעתי בשם הגר”א”, או “ידוע פירושו של הגר”א”, אבל לא מצאתי היכן (ב’קול אליהו’ למשל זה לא נמצא).
והנה גיליתי מאמר של חיים ברנר, (2) שמציין למאמר קודם של הרב מתתיהו הכהן מונק, בקובץ התורני “הדרום” חוברת כג (תשכ”ח), שבו מופיע החידוש הזה, לכאורה בשמו של מונק – אבל אין לי כרגע איך להגיע לחוברת “הדרום”, אני אפנה לכבוד הרש”צ לוינגר שוודאי יוכל להשיג אותה, ואז נראה.ש
__________
(1) הנה דוגמה:
http://www.hebrewbooks.org/pagefeed/hebrewbooks_org_52077_38.pdf
(2) המאמר של ברנר (ראו עמ’ 52):
http://www.ybm.org.il/upload/ListItems/AttachedFile_2948.pdf
לאחר מסע בלשי קצר התגלתה התעלומה – הרעיון הוא של מתתיהו מונק ולא (כנראה) של הגר”א – עדכנתי בסוף הפוסט.
יפה מאוד!
וראה כאן
http://forum.otzar.org/forums/viewtopic.php?t=2479
הקירוב של תרגום השבעים לא יותר טוב….
להגיד שפאי שווה 3.3 זה ‘גרוע’ כמו 3…
לא דקת בדבריהם הקדושים – הם תרגמו ש(רדיוס) הים היה 10 אמות, והיקף הים היה 33 אמות.
מכיוון שמפורש בפסוק שלים היתה דופן של טפח, הרי שהרדיוס שלו היה כ- 10.5 אמות.
ואכן פאי כפול 10.5 = בדיוק 33!
יש פה בעיה. פאי הוא מספר אי רציונלי. 10.5 ו33 רציונליים. לכן לא ייתכן שמכפלה של מספר אי רציונלי עם רציונלי ייתן רציונלי. חלק את שני האגפים ב10.5 ותקבל שפאי הוא רציונלי סתירה!
לא דקת בדבריי הקדושים! :)
כתבתי “כ- 10.5 אמות” – ולא “בדיוק 10.5 אמות”. המספר המדויק (כמעט) הוא:
10.504226244065092160746328382586
מקווה שעזרתי…
שלום. קראתי בעניין את דבריך. אתייחס רק למה שהבאת ותיקנת בשמו של הרב מתתיהו מונק ז”ל. (והתיקון שהבאת בשמי) נכון שישנו ו החיבור במילה וקו(ה) אבל אין סיבה להכניסה בתוך הגמטריה. הרב מונק מסביר באריכות את השינוי הזה מכתיב לקרי בעוד 2 מקומות בתנ”ך. גם הנסיון הדחוק לומר שאפשר היה למצוא קרוב טוב יותר במילה בהחלפת אותיות “משפתו” היא התרסה שלא מהעניין, מכמה סיבות, 1. אם המדידה תיעשה על ידי סרגל ישר בגודל רדיוס המעגל נקבל בדיוק קו של 30 אמה. אך עלינו לא למדוד בסרגל ולכן כאן המקום לרמוז זאת. 2. השבר 111/106 קרוב יותר לערך הנדרש מההצעה השונה, ורק בגלל הוספת ו החיבור זה פחות מדוייק.
3. כבר מימים קדמונים ניסו למצוא שבר רציונאלי המתאים לפאי השברים המתאימים בקרוב 22/7 333/106 355/111 אז בחירה של ערך כזה שגם יכנס לכתוב. זו הצלחה מעולה!
אני חושב ששימוש במילה קו ולא חוט כפי שמופיע קודם בפרק לגבי העמודים שבמקדש, מוביל לחשוב שהקרדית לגילוי הוא של הרב מונק והקרדיט לשבר הזה לשלמה המלך! (ברור שבמדידה פשוטה עם חוט, החכם מכל אדם לא היה טועה בכמעט אמה וחצי!)
שכחתי להוסיף שבנו של הרב מונק, שהכרתי בבית הכנסת בבית וגן, אמר לי בפירוש שהחידוש של החישוב הוא מקורי של אביו!
תודה על ההארות! יש לציין כגילוי נאות, שאני אישית *לא חושב* שמחבר מלכים חלם לרגע על גימטריות ויחסים בין קרי וכתיב – וההסבר לחוסר ההתאמה הוא פרוזאי הרבה יותר, או שהיה קצת אליפטי, או שלא מדדו את השפה וכו’.
אבל אין משיבין על הדרוש!
איך הגענו לכך שהקוטר של ימה של שלמה הוא 10.5 אמות כאשר מוסיפים טפח לכל צד? הרי ישנם שישה טפחים באמה, משמע שכל טפח היא 0.16 אמות,ואף אם נאמר שישנם חמישה טפחים באמה, כל טפח הוא 0.2 אמות. ובכך יוצא כי קוטר הים היינו 10.4 במקסימום, וההיקף הוא 32.6, ולא 33! אם כן איך מיישבת לנו תרגום השבעים את הקושיא לגבי האי דיוק בפאי, שהרי עדיין קיימת פער בין ההיקף לקוטר?
ישנם שיענו כגאון רבי עקיבא איגר שאומר כי כל טפח שנאמר מדובר בטפח שוחק, ולכן ישנו אפשרות שמודבר כאן על טפח שוחק בכל צד של הים, ולכן מגיעה הקוטר לאורך של 10.5 אמות. אך זה אינו מתיישב על הדעת כי אין כאן עניין הלכתי של החמרה או הקלה, ואשמח לקבל תשובה.
תודה
אכן לא דקתי – זה לא 10.5 אלא 10.4, כפול פאי = 32.67 – שזה מאוד קרוב ל- 33 (99% דיוק, לעומת 95% דיוק לפי הנוסח של 30 אמה)
אבל משום “ואל תשכן באהליך עוולה” תיקנתי את התמונה ואת הניסוח – תודה על ההערה!
תודה רבה.
נהנתי מאוד מהמאמר!
בנוגע לרעיונו של רינהלד (אגב, אתה בטוח שהוא גוי?), יפה אבל לא מצאנו במקרא את המילה “של”, זה מופיע לראשונה במשנה.
אכן הקידומת של_ מצאנו, אבל לא במובן שהוא רוצה להשתמש בו.
לכן, אבי, דע נאמנה שחכמה בגוים – אל תאמין….?!?
“לא מצאנו במקרא את המילה של” – התנ”ך מלא במילים יחידאיות, כידוע. קח לדוגמה את “בְּשַׁגַּם” (בר’ ו ג), או את “בְּשֶׁל” (קהלת ח, יז). אגב, גם המילה “מַחֲזִיק” בפסוק הנדון נראית יחידאית במובן שלה (=מכיל?).
נ”ב ריינולד הוא ככל הנראה גוי למהדרין, ראה למשל כאן:
http://ad2004.com/prophecytruths/Articles/DivineNameNT.pdf
הבעיה היא שנראה שהמלה היא קיצור מ “אשר ל” שקודם קוצר לקידומת ואח”כ למלה בפנ”ע.
בנוסף, אם אנחנו צריכים שתי מילים זרות “של” ו”שת”, מויחל טויבעס.
אגב, רינהאלד הוא אכן נוצרי, אך עדיין יתכן שהוא יהודי ביולוגי, ואני חושד כך לפי שמו, בכל אופן לא חשוב.
יש פה בעיה. פאי הוא מספר אי רציונלי. 10.5 ו33 רציונליים. לכן לא ייתכן שמכפלה של מספר אי רציונלי עם רציונלי ייתן רציונלי. חלק את שני האגפים ב10.5 ותקבל שפאי הוא רציונלי סתירה!
לגבי הכפילות בדה”י “מחזיק.. יכיל”, תרגום השבעים תרגם את המילה האחרונה: “ויכלהו”.